基本方程———Theis公式
基本方程———Theis公式?
1935年C.V.Theis在数学家的帮助下，利用固体热传导理论的平面瞬时点汇作用下任意点r处的温度随时间t变化的方程，见第8章方程（8-2-10）式，根据地下水流与热传导的相似性，移植到地下水不稳定井流系统，经过适当推导而得其解，即方程（8-2-13）式。
下面将从地下水流控制方程及其定解条件出发推导Theis公式。
无限含水层中单个定流量井流方程的建立，基于下列假定条件：①含水层是均质、各向同性、等厚且水平分布，含水层假定为弹性体；②无垂向补给、排泄，即W＝0；③渗流满足Darcy定律；④完整井，假定流量沿井壁均匀进水；⑤水头下降引起地下水从储存量中的释放是瞬时完成的；⑥抽水前水头面是水平的；⑦井径无限小且定流量抽水；⑧含水层侧向无限延伸。
根据条件①至⑤，可以应用轴对称流基本微分方程（2-3-17）式或（2-3-19）式，⑥是初始条件；⑦和⑧分别是内、外边界条件。因此，该定解问题可写为
地下水动力学（第五版）
式中：a是含水层水头扩散系数/压力传导系数；H是水头，为r和t的函数；H0是初始水头；r是任意点至抽水井的距离；t是从抽水开始起算的时间；Q是抽水井的流量（常量）；T是含水层导水系数。在地下水动力学中，习惯上规定抽水流量为正值，故（5-1-4）式差一符号。
该定解问题可用积分变换法、分离变量法或L.Boltzmann变换法等方法求解。Boltzmann法是1894年提出的，此法的特点是引入一个二元函数或其他类似的形式，将偏微分方程变换成常微分方程，然后再解后者的方法。此法比经典的分离变量要简明，而所涉及的数学知识又比积分变换法要简单，故本教材采用此法（Matthews等，1967）。
引入变量u
地下水动力学（第五版）
则
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H是u的函数，而u又是r和t的函数，依复合函数求导法则，有
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或写为
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于是
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和
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将上述三个关系代入（5-1-1）式，得
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这样，偏微分方程（5-1-1）式变为常微分方程（5-1-6）式，初始条件（5-1-2）式和边界条件（5-1-3）式可合写为（5-1-7）式。注意到（5-1-5）式，内边界条件（5-1-4）式可写为（5-1-8）式，即
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这样，问题［Ⅰ］变为问题［Ⅰ］′。
下面解方程（5-1-6）式：
令
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则（5-1-6）式可写为
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即
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分离变量
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积分
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即
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其中
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或
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根据边界条件（5-1-8）式确定积分常数C1
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得
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将所得C1值代回到（5-1-10）式，得
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再一次分离变量
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积分，并注意条件（5-1-7）式，得
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即得Theis公式
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其中
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地下水动力学上习惯记
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称W（u）为Theis井流的井函数。
定义水头降深
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则由上述，可得承压Theis井流的三个基本方程，即
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和
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其中W-1是反井函数。如W（u）＝A，则W-1（A）＝u。
对于单层潜水完整井流问题，显然比承压井流要复杂得多。对它的全面分析留在第9章讨论，这里仅注意一个问题，即承压井流的厚度M是不变的，而潜水井流的饱和厚度h是变化的。如果忽视其他方面的差异，那么只要寻求潜水井流的h与承压井流的M之间的对应关系（并以水位h替代水头H以及重力给水度μd替代弹性给水度μe）之后，便可将承压井流的解用于潜水井流。
如果潜水井流满足前述承压井流的8个假定条件，其中第①点改为“含水层是均质、各向同性、等厚且含水层底板水平”，再加第⑨个条件，降深值远远小于潜水含水层的厚度，流动满足Dupuit假定，则潜水井流与承压井流可以对应起来。
满足上述9个假定条件的潜水完整井流，其流动微分方程为（2-5-14）式，即
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现已知由（5-1-1）式～（5-1-4）式构成的承压井流定解问题［Ⅰ］的解为（5-1-11）式，我们通过变换，将承压井流问题［Ⅰ］改变为潜水井流问题［Ⅱ］的形式，就可获得参数间的对应关系。为此，在承压流的基本微分方程（5-1-1）式
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两端乘以M，并引入承压流势函数φ的定义
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则微分方程变为
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由此可见，承压井流引入势函数φ的定义之后，承压完整井的定解问题［Ⅲ］与潜水完整井的定解问题［Ⅱ］的形式完全一样，于是其解φ的形式也应相同，只是要注意两者变量间的关系：
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为此，将承压完整井流的解（5-1-11）式改写为
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其中
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就可利用上述的潜水井流与承压井流间三个对应变换关系，直接获得潜水完整井定流量抽水的公式
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若用水位降深s＝h0-h，则为
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于是，（5-1-19）式可写为
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对比承压井流方程（5-1-17）式可见，潜水井流的平均厚度hm可按下式近似计算
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换句话说，我们可以引入抽水时潜水层的平均厚度hm的定义（5-1-23）式将潜水井流方程与承压井流方程对应起来或互相转化。一些文献上采用Jacob修正降深sc来转化上述两类井流方程关系，即
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记
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式中：sc为修正降深。为此，含水层厚度h0不变而降深作相应修改。
为此，与承压完整井流三个基本方程（5-1-14）式～（5-1-16）式相对应，潜水完整井流的三个基本方程为
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和
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以上6式（5-1-14）式～（5-1-16）式、（5-1-24）式～（5-1-26）式均称为Theis公式。
Theis井函数也可以用级数形式表示，即
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图5-1-1 W（u）-u曲线
Theis井函数的曲线图形如图5-1-1所示。为了计算方便，已制成函数表（附表1）。
当 足够小时，Theis井函数可用（5-1-27）式的前两项近似表示，即
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当u≤0.01，即 时（误差在0.25％以内）或当u≤0.05，即 时（误差在2％以内），可用对数近似代替Theis井函数。这样，方程（5-1-14）式～（5-1-16）式和（5-1-24）式～（5-1-26）式相应地变为
对于承压井流
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对于潜水井流
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上述6公式可称为Theis公式的近似式———Jacob公式。
Theis公式是无垂向补给/排泄（W＝0）含水层中定流量不稳定完整井流的基本公式。此式描写水头/降深的时空分布与含水层参数、井孔流量之间的关系。Theis公式是含水层抽/注水试验确定参数的基础，也是地下水开采动态预测的理论依据，Theis公式在地下水动力学中具有极重要的地位，应对其有深刻的理解。